Question

Encontre as soluções reais da equação:

$\sqrt{x+\sqrt{4x-4}}+\sqrt{x-\sqrt{4x-4}}=\sqrt{x+3}$

Answer 1

$\sqrt{x+\sqrt{4x-4}}+\sqrt{x-\sqrt{4x-4}}=\sqrt{x+3}$

√(x+√(4x-4))²+2√(x+√(4x-4))√(x-√(4x-4))+√(x-√(4x-4))²=√(x+3)² Eleve ao quadrado

2x+2√(x+√(4x-4))√(x-√(4x-4))=x+3 Remova e una termos semelhantes

2x+2√(x+√(4x-4)x-√(4x-4))=x+3 Produto de raízes

2x+2√(x²-√(4x-4)²)=x+3 Produto da soma e diferença

2x+2√(x²-4x+4))=x+3 Fatora

2x+2√(x-2)²)=x+3 Resolva

(Daqui para frente temos duas possibilidades √(x-2)²>0 ou √(x-2)²<0)

√(x-2)²>0

2x+2(x-2)=x+3

2x+2x-4=x+3

4x-4=x+3

x=7/3

√(x-2)²<0

2x+2(-x+2)=x+3

2x+-2x+4=x+3

x+3=4

x=1

Ou seja, $x_{1}=1$ e $x_{2}=7/3$

Answer 2

(1) O dominio da ecuação:

$D_1:4x-4\geq 0\to x\geq 1\\ \\ D_2: x+\sqrt{4x-4}\geq 0\to x\geq 1\\ \\ D_3: x-\sqrt{4x-4}\geq 0\\ \\ \text{ Como }x+\sqrt{4x-4}\geq 0:\\ \\ (x-\sqrt{4x-4})(x+\sqrt{4x-4})\geq 0\\ x^2-4x+4\geq0\\ (x-2)^2\geq 0\to x\geq 1\\ \\ D_4: x+3\geq 0\to x\geq -3\\ \\ \\ \text{Finalmente: }D=D_1\cap D_2\cap D_3\cap D_4=[1,+\infty]$

(2) Resolução:

$\sqrt{x+\sqrt{4x-4}}+\sqrt{x-\sqrt{4x-4}}=\sqrt{x+3}\\ \\ (\sqrt{x+\sqrt{4x-4}}+\sqrt{x-\sqrt{4x-4}})^2=\sqrt{x+3}^2\\ \\ 2x+2\sqrt{x^2-4x+4}=x+3\\ \\ 2x+2|x-2|=x+3\\ \\ 2|x-2|=3-x\\ \\ \bullet \text{Sim }1\geq x<2\\ \\ -2x+4=3-x\to x=1\\ \\ \bullet \text{Sim }x\geq 2\\ \\ 2x-4=3-x\to x=\dfrac{7}{3}\\ \\ \\ \text{Ent\~ao }\boxed{x\in\left\{1,\dfrac{7}{3}\right\}}$