Question

UE-CE) A soma dos valores de k para os quais o polinômio P(x) = x3 + k2k2 – 4kx – 5 é divisível por x – 2 é:
a) 2
b) -1
c) -2
d) 1

Answer 1

Temos que p(x) = x³ + k²x² - 4kx - 5.

Como p(x) é divisível por x - 2, então x = 2 é uma raiz de p(x).

Então, substituindo x = 2 em p(x):

2³ + k².2² - 4k.2 - 5 = 0

8 + 4k² - 8k - 5 = 0

4k² - 8k + 3 = 0

Temos aqui uma equação do segundo grau.

Para resolvê-la, utilizaremos a fórmula de Bháskara:

Δ = (-8)² - 4.4.3

Δ = 64 - 48

Δ = 16

Como Δ > 0, então existem dois valores reais distintos para k.

$k = \frac{8+-\sqrt{16}}{2.4}$

$k = \frac{8+-4}{8}$

$k' = \frac{8+4}{8} = \frac{3}{2}$

$k'' = \frac{8-4}{8} = \frac{1}{2}$

Assim, a soma dos valores de k é igual a:

$k' + k'' = \frac{3}{2}+ \frac{1}{2}$

k' + k'' = 2

Alternativa correta: letra a).