Question

determine os valores de m para que a função quadratica definida por f(x)=x2+(3m+2)x+(m2-4m-1)não tendo zero reais.

Answer 1

Para que uma função quadrática não tenha zeros reais, o delta dela deve ser menor do que zero (isso acontece por que o delta vai dentro da raiz no bhaskara, então não pode ser negativo).

$f(x)=x^{ 2 }+(3m+2)x+(m^{ 2 }-4m-1)\\ \\ \Delta <0\\ \\ b^{ 2 }-4ac<0\\ \\ (3m+2)^{ 2 }-4\cdot 1\cdot (m^{ 2 }-4m-1)<0\\ \\ 9m^{ 2 }+2\cdot 3m\cdot 2+4-4m^{ 2 }+16m+4<0\\ \\ 9m^{ 2 }-4m^{ 2 }+12m+16m+4+4<0\\ \\ 5m^{ 2 }+28m+8<0$

A solução seria então:

$S=\{ m\in IR\quad |\quad 5m^{ 2 }+28m+8\quad <\quad 0\}$

Por bhaskara, você também pode ver que as raízes da equação $5m^{ 2 }+28m+8=0$ são:

$x'=\frac { -14-2\sqrt { 39 } }{ 5 } \\ x''=\frac { -14+2\sqrt { 39 } }{ 5 }$

O que faz com que a solução baseada nessas raízes seja:

$S=\left\{ m\in IR\quad |\quad \frac { -14-2\sqrt { 39 } }{ 5 } <m<\frac { -14+2\sqrt { 39 } }{ 5 } \right\}$

Segue uma imagem em anexo do gráfico da solução. No eixo das abissas é o m e no das ordenadas é $5m^{ 2 }+28m+8=0$ .