Question

determine os valores de m para que a função quadratica definida por f(x)=x2+(3m+2)x+(m2-4m-1) tendo um zero real duplo.

Answer 1

Para que uma função quadrática tenha zeros reais e duplos, o delta dela deve ser igual a 0.

$f(x)=x^{ 2 }+(3m+2)x+(m^{ 2 }-4m-1)\\ \\ \Delta =0\\ \\ b^{ 2 }-4ac=0\\ \\ (3m+2)^{ 2 }-4\cdot 1\cdot (m^{ 2 }-4m-1)=0\\ \\ 9m^{ 2 }+2\cdot 3m\cdot 2+4-4m^{ 2 }+16m+4=0\\ \\ 9m^{ 2 }-4m^{ 2 }+12m+16m+4+4=0\\ \\ 5m^{ 2 }+28m+8=0$

Por bhaskara, você também pode ver que as raízes da equação $5m^{ 2 }+28m+8=0$ são:

$m=\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a } \\ \\ m=\frac { -28\pm \sqrt { { 28 }^{ 2 }-4\cdot 5\cdot 8 } }{ 2a } \\ \\ m=\frac { -28\pm \sqrt { 624 } }{ 2\cdot 5 } \\ \\ m=\frac { -28\pm 4\sqrt { 39 } }{ 2\cdot 5 } \\ \\ m=\frac { -14\pm 2\sqrt { 39 } }{ 5 }$

$m'=\frac { -14-2\sqrt { 39 } }{ 5 } \\ m''=\frac { -14+2\sqrt { 39 } }{ 5 }$

A solução seria então:

$S=\{ m\in IR\quad |\quad m= \frac { -14-2\sqrt { 39 } }{ 5 } \cup m= \frac { -14+2\sqrt { 39 } }{ 5 }\}$