Question

A avaliação de posições relativas (entre pontos e retas, retas e planos e afins) é uma possibilidade de estudar distâncias de forma mais abrangente, podendo ser aplicadas de inúmeras formas na engenharia como na medida de distâncias entre estruturas. Também muito útil nesses casos é verificar as condições (paralelos perpendiculares) entre si.
Deseja-se acoplar duas chapas metálicas e para isso deve-se avaliar se estas estão completamente paralelas entre si. Sabendo as equações dos planos nos quais as placas estão contidas são:

Plano 1: 5x - 6y + 2z - 7 = 0
Plano 2: -10x + 12y - 4z - 14 = 0

Texto elaborado pelo Professor, 2018.
Sobre os dois planos, afirma-se:

I) Os planos são paralelos e a distância entre os dois planos é maior que 1 unidade de medida.
II) Os planos serão perpendiculares.
III) Os planos são paralelos e a distância entre os dois planos é maior que 2 unidades de medida.
IV) Os planos são não coincidentes.

Estão corretas:
Alternativas

Alternativa 1:
I, apenas.

Alternativa 2:
III, apenas.

Alternativa 3:
IV, apenas.

Alternativa 4:
I e IV, apenas.

Alternativa 5:
II e IV, apenas.

Answer 1

Sendo a equação do plano 2 igual a -10x + 12y - 4z - 14 = 0, então podemos dizer que a equação é -5x + 6y - 2z - 7 = 0.

Perceba que o vetor normal do plano 1 é n1 = (5,-6,2) e o vetor normal do plano 2 é n2 = (-5,6,-2).

Ou seja, n1 = (-1).n2.

Sendo assim, os vetores n1 e n2 são Linearmente Dependentes. Logo, os planos são paralelos.

Para calcular a distância entre os planos utilizaremos a fórmula:

$d(P_0, \Pi) = \frac{|ax_0+by_0+c_z0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Veja que o ponto P(1,-1,-9) pertence ao plano 2.

Então,

$d = \frac{|5.1 - 6.(-1) + 2.(-9)-7|}{\sqrt{5^2+(-6)^2+2^2}}$

$d = \frac{|-14|}{\sqrt{65}}$

$d = \frac{14}{\sqrt{65}}$

d ≈ 1,74

Portanto:

I) A afirmativa está correta.

II) A afirmativa não está correta.

III) A afirmativa não está correta.

IV) A afirmativa está correta.

Alternativa correta: Alternativa 4.

Answer 2

alternativas corretas I e IV