Question

Dada a função f: R - {-3, 1} --> R, definida por f(x) =
$\frac{3x}{x - 1} - \frac{x + 1}{x + 3}$, os valores encontrados para f(-1/2) e de x para f(x) = 3 são, respectivamente:

A) 4/5 e {-2,5}
B) 4 e {2}
C) 5 e {2,5}
D) 2,5 e {5}
E) 4 e {4,5}

Answer 1

$f(x) = \frac{3x}{x-1}-\frac{x+1}{x+3}$

$f(-\frac{1}{2})=\frac{3.(-\frac{1}{2})}{(-\frac{1}{2}) - 1} - \frac{(-\frac{1}{2})+1}{(-\frac{1}{2})+3}$

$f(-\frac{1}{2}) = \frac{-\frac{-3}{2}}{-\frac{-3}{2}}-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{2}}$

$f(-\frac{1}{2}) = 1 - \frac{2}{10}$

$f(-\frac{1}{2})=\frac{1-10}{2}$

$f(-\frac{1}{2})=4,5$

Para f(x) = 3 podemos fazer o seguinte:

$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a.d-b.c}{b.d}$

Então,

$\frac{3x}{x-1}-\frac{x+1}{x+3}=\frac{3x.(x+3)-(x-1).(x+1)}{(x-1).(x+3)}$

$\frac{3x^2+9x-x^2+1}{x^2+2x-3}$

$\frac{2x^2+9x+1}{x^2+2x-3}$

Então,

$\frac{2x^2+9x+1}{x^2+2x-3} = 3$

$2x^2+9x+1=3.(x^2+2x-3)$

$2x^2+9x+1=3x^2+6x-9$

$3x^2-2x^2+6x-9x-9-1=0$

$x^2-3x-10=0$

Δ = b² - 4.a.c

Δ = -3² - 4 . 1 . -10

Δ = 9 - 4. 1 . -10

Δ = 49

Há 2 raízes reais.

x = (-b +- √Δ)/2a

x' = (--3 + √49)/2.1

x'' = (--3 - √49)/2.1

x' = 10 / 2

x'' = -4 / 2

x' = 5

x'' = -2

Então, para f(x) = 3, x pode ser -2 ou 5.

Supondo que aquele 4/5 na letra A seja 4,5 a resposta correta é a letra A. Se não, não há alternativa correta.