Question

EQUAÇÃO EXPONENCIAL: URGENTE


Um equipamento industrial foi adquirido por 30.000 00. Seu valor(v), em reais, com x anos de uso, é dado pela lei v(x)= p.q^x em que p e q são constantes reais.

Sabendo-se que, com 3 anos de uso, o valor do equipamento será R$ 21 870,00, determine:

A) Os valores de p e q

B) O tempo aproximado de uso para o qual equipamento valerá R$ 10 000,00.

Use log 3 ≈ 0,4771

Answer 1

v(0) = p * q^0

30000 = p

a)

21870 = 30000 * q³

21870/3000 = q³

0.729 = q³

∛729/1000 = q

9/10 = q

b)

10000 = 30000 * (9/10)^(x)

1 = 3 * (9/10)^(x)

(10/9)^(x) = 3

x * Log(10/9) = Log(3)

x = Log(3) /[ Log(10)/2Log(3) ]

x = 0,4771/[ 1 - 2 * 0,4771 ]

x = 0,4771/0,0458

x ≈ 10,4170306

11 anos

Answer 2

Os valores de p e q são, respectivamente, 30000 e 0,9.

Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:

• A lei do valor desse equipamento é uma função exponencial decrescente;
• O valor inicial é sempre multiplicado pela potência;

Com essas informações,  sabemos então que o valor de p será igual ao valor do equipamento novo, ou seja, p = 30000. Agora, sabendo que com 3 anos de uso, o valor do equipamento é de R$21870,00, podemos encontrar o valor de q:

v(3) = 30000.q³

21870 = 30000.q³

q³ = 0,729

q = ∛0,729

q = 0,9

Para que o valor do equipamento valha R$10000,00, o valor de x será:

10000 = 30000.0,9^x

1 = 3.0,9^x

Aplicando o logaritmo em ambos os membros:

log 1 = log 3 + log 0,9^x

0 = 0,4771 + x.log 0,9

-0,4771 = x.log (9/10)

x = -0,4771/[log 3² - log 10]

x = -0,4771/[2.log 3 - 1]

x = -0,4771/-0,0458

x = 10,41

Logo, levaria aproximadamente 11 anos para que o valor seja de R$10000,00.

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