Matéria: Matemática
Autor: Irracional
Perguntado 8 anos atrás

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Qual o décimo termo da PA (3, 12,...)?

Respostas

respondido por: escaleno

Saudações, acadêmico.

Neste exercício, utilizaremos a fórmula do termo geral de uma P.A. Vejamos-a:

$\boxed{\mathtt{a_n = a_1 + (n - 1)\cdot r}}$

Onde:

$\mathbf{a_1}$ é o primeiro termo da progressão.
$\mathbf{q}$ é a razão da progressão aritmética.
$\mathbf{n}$ é o número do termo da progressão aritmética.
$\mathbf{a_n}$ é o termo desconhecido da progressão aritmética.

Como não temos a razão da progressão aritmética dada, a calcularemos, onde tem sua fórmula dada por:

$\boxed{\mathtt{q = a_2 - a_1}}$

Aplicando no exercício:

$\mathtt{q = a_2 - a_1}$

$\mathtt{q = 12 - 3}$

$\boxed{\mathtt{q = 9}}$

Agora com a razão, podemos retirar as informações para facilitar os cálculos. Teremos então que:

$\left\{\begin{matrix}\mathtt{a_1 = 3} \\\mathtt{q = 9}\\\mathtt{n = 10}\\\mathtt{a_n = a_{10} = \textbf{?}}\end{matrix}}}$

Agora podemos descobrir o termo desconhecido da progressão a qual o exercício pede. Acompanhe o desenvolvimento:

$\mathtt{a_n = a_1 + (n - 1)\cdot q}$

$\mathtt{a_{10} = 3 + (10 - 1)\cdot 9}$

$\mathtt{a_{10} = 3 + 9 \cdot 9}$

$\mathtt{a_{10} = 3 + 81}$

$\boxed{\mathtt{a_{10} = 84}}$

Temos então nossa resposta:

Resposta: O décimo termo da P.A dada por (3, 12,...) é o número 84.

Espero ter lhe ajudado!

respondido por: viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação dos problemas:

Da sequência (3, 12,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:3

c)décimo termo (a₁₀): ?

d)número de termos (n): 10

Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 10ª), equivalente ao número de termos.

e)Embora não se saiba o valor do décimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastam-se do zero, para a direita, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e os termos solicitados igualmente serão maiores que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 12 - 3 ⇒

r = 9 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o centésimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₀ = 3 + (10 - 1) . (9) ⇒

a₁₀ = 3 + (9) . (9) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₀ = 3 + 81 ⇒

a₁₀ = 84

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O décimo termo da P.A.(3, 12,...) é 84.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₀ = 84 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o décimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

84 = a₁ + (10 - 1) . (9) ⇒

84 = a₁ + (9) . (9) ⇒

84 = a₁ + 81 ⇒ (Passa-se 81 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

84 - 81 = a₁ ⇒

3 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 3 (Provado que a₁₀ = 84.)

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