Question

Sendo
$sn = n ^{2} + 2n$
, a soma dos n primeiros termos de uma P.A, podemos dizer que o quarto termo dessa suvessao é igual a:
a) 9 b) 10 c)12 d)14 e)18

Answer 1

Olá!

Podemos determinar o primeiro termo da P.A fazendo n = 1, afinal, $\mathbf{S_1 = a_1}$.  Isto posto,

$\\ \mathsf{S_n = n^2 + 2n} \\\\ \mathsf{S_1 = a_1 = 1^1 + 2 \cdot 1} \\\\ \mathsf{a_1 = 1 + 2} \\\\ \boxed{\mathsf{a_1 = 3}}$

Por conseguinte, devemos determinar a soma dos dois primeiros termos, veja:

$\\ \mathsf{S_n = n^2 = 2n} \\\\ \mathsf{S_2 = 2^2 + 2 \cdot 2} \\\\ \mathsf{S_2 = 4 + 4} \\\\ \boxed{\mathsf{S_2 = 8}}$

Ademais, sabemos que:

$\mathbf{S_2 = a_1 + a_2}$

Daí,

$\\ \mathsf{S_2 = a_1 + a_2} \\\\ \mathsf{8 = 3 + a_2} \\\\ \mathsf{a_2 = 8 - 3} \\\\ \mathsf{\boxed{\mathsf{a_2 = 5}}}$

Uma vez que, a razão é dada pela diferença entre os termos...

$\\ \marhsf{r = a_2 - a_1} \\\\ \mathsf{r = 5 - 3} \\\\ \boxed{\mathsf{r = 2}}$

Por fim,

$\\ \mathsf{a_n = a_1 + (n - 1)r} \\\\ \mathsf{a_4 = a_1 + (4 - 1) \cdot 2} \\\\ \mathsf{a_4 = 3 + 3 \cdot 2} \\\\ \mathsf{a_4 = 3 + 6} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{a_4 = 9}}}$