Question

Determine Sn da PA, sabendo que S8=40 e S15= -30.

Answer 1

Boa  tarde

Fórmula da soma dos termos

$S_{n}=\dfrac{n(a_{1} +a_{n} )}{2}$

Aplicando temos :

$S_{8}= \dfrac{8(a_{1} +a_{8} )}{2} =40\Rightarrow  a_{1} +a_{8}=10\\ \\   a_{1} +a_{1}+7*r=10\Rightarrow \boxed {2a_{1} +7r =10}\\ \\ \\ S_{15}= \dfrac{15(a_{1} +a_{15} )}{2} =-30\Rightarrow  a_{1} +a_{15}=-4\\ \\   a_{1} +a_{1}+14*r=-4\Rightarrow \boxed {2a_{1} +14r =-4}$

Resolvendo o sistema

$\left \{ {{2a_{1} +7r=10} \atop {2a_{1} +14r=-4}} \right.$

temos:

$a_{1}=12 \quad \quad \quad e \quad \quad \quad r= -2$

Fórmula do termo geral

$a_{n}=a_{1}+(n-1)*r$

Aplicando a nossa P.A.

$a_{n}=12+(n-1)*(-2) \Rightarrow  a_{n}=12-2n+2 \Rightarrow a_{n}=14-2n\\ \\ \\ e\quad\quad\quad a_{n}+a_{1}=14-2n+12 \Rightarrow   \boxed{a_{n}+a_{1}=26-2n}$

Usando a fórmula da soma

$S_{n}=\frac{n(26-2n)}{2} =n(13-n)\\ \\ \\ \boxed {S_{n}=n(13-n) }$