Question

O uso de matrizes vai além de simples tabelas, sendo ferramentas de grande auxílio em desenvolvimentos algébricos sofisticados.
Considere as duas matrizes abaixo como sendo matrizes representativas de duas transformações lineares.

Texto elaborado pelo Professor, 2018

Afirmações:

I) O valor “1” é autovalor da matriz A, que representa uma transformação.
II) O valor “4” é autovalor da matriz B, que representa a transformação.
II) O valor “5” é autovalor da matriz A, que representa a transformação.
IV) O valor “-1” é autovalor da matriz B, que representa a transformação.

Estão corretas:

Answer 1

Vamos calcular o polinômio característico de cada matriz.

Lembrando que: p(x) = det(xIn - A), sendo In a matriz identidade de ordem n.

Polinômio característico da matriz A:

$p(x)=det\left[\begin{array}{ccc}x-1&-4\\-2&x-3\end{array}\right]$

p(x) = (x - 1)(x - 3) - 8

p(x) = x² - 3x - x + 3 - 8

p(x) = x² - 4x - 5

p(x) = (x + 1)(x - 5)

Assim, x₁ = -1 e x₂ = 5 são os autovalores da matriz A.

Polinômio característico da matriz B:

$p(x)=det\left[\begin{array}{ccc}x-1&-3\\-2&x-2\end{array}\right]$

p(x) = (x - 1)(x - 2) - 6

p(x) = x² - 2x - x + 2 - 6

p(x) = x² - 3x - 4

p(x) = (x + 1)(x - 4)

Assim, x₁ = -1 e x₂ = 4 são os autovalores da matriz B.

Portanto, as afirmações II, III e IV estão corretas.