Question

Resolva a equação LaTeX: \frac{x^3-12x^2+21x+98}{x+2}=0x3−12x2+21x+98x+2=0 , sabendo que LaTeX: x=7x=7 é uma raiz da equação.

Answer 1

A equação é $\frac{x^3-12x^2+21x+98}{x+2}=0$.

Perceba que x = 7 é uma raiz de x³ - 12x² + 21x + 98 = 0.

Então, utilizando o Dispositivo Prático de Briot-Ruffini, podemos escrever  x³ - 12x² + 21x + 98 = 0 como:

(x - 7)(x² - 5x - 14) = 0

Assim,

$\frac{(x^2-5x-14)(x-7)}{x+2}=0$

Agora precisamos calcular as raízes da equação x² - 5x - 14 = 0.

Para isso, vamos utilizar a fórmula de Bháskara:

Δ = (-5)² - 4.1.(-14)

Δ = 25 + 56

Δ = 81

$x = \frac{5+-\sqrt{81}}{2}$

$x = \frac{5+-9}{2}$

$x'=\frac{5+9}{2} = 7$

$x''=\frac{5-9}{2} = -2$

Logo, x² - 5x - 14 = (x - 7)(x + 2).

Assim,

$\frac{(x+2)(x-7)(x-7)}{x+2} = 0$

Simplificando:

(x - 7)(x - 7) = 0

(x - 7)² = 0

x = 7

Portanto, a solução da equação é x = 7.

Answer 2

Achei um jeito mais fácil.

Use a regra do teorema de D´Alembert

x³ - 12x² + 21x + 98 = 0 tem como divisor x+2

Logo, teste a raíz +2 ou -2 , do dividendo ´´ x+2``

$P(2) = 2^{3}-12*2^{2} +21*2+98 = 100$

O resultado não deu 0, ou seja, +2 não é raiz.

agora tente com -2

$P(-2) = -2^{3} * -12*(-2)^{2} +21*(-2) +98 = 0$

Este sim deu 0. Ou seja, -2 é raiz deste polinômio.

Como o exercício já avisa que 7 também é raiz, faça a prova real, e tente fazer P(7), garanto que dará 0.

Abraços, aluno da Univesp , Eng. Produção.