Question

Uma peça de formato cilíndrico está em processo de aquecimento e, neste processo, está se dilatando. Suas dimensões estão variando da maneira que segue: quando o raio da base LaTeX: r=r(t)r=r(t) vale LaTeX: 8cm8cm, ele está aumentando a uma taxa de LaTeX: 1cm/s1cm/s e, neste instante, a altura vale LaTeX: 10cm10cm e está aumentando a uma taxa de LaTeX: 3cm/s3cm/s.

Calcule a taxa de variação do volume do cilindro neste instante. Adote LaTeX: \pi=3π=3.

Answer 1

O volume de um cilindro varia em função do raio e da altura (V(r,h)). Neste caso, o raio e a altura estão variando em função do tempo (r(t) e h(t)).  

Para achar a variação do volume em função do tempo, precisamos encontrar sua variação em função do raio e a altura aplicando a regra da cadeia:

$\dfrac{d(V(t))}{dt} = \dfrac{dV}{dr}*\dfrac{dr}{dt}+\dfrac{dV}{dh}*\dfrac{dh}{dt}$

O enunciado já nos forneceu a variação do raio e altura com o tempo. Avaliando a variação do volume com o raio e o com a altura:

$\dfrac{dV}{dr} = 2\pi*r*h\\  \dfrac{dV}{dh} = \pi*r^2$

Substituindo os valores de r e h no momento de observação:

$\dfrac{d(V(t))}{dt} = (2\pi * 8*10)*1 +(\pi * 8^2)*3\\ \\ \dfrac{d(V(t))}{dt} = 1056\ cm^3/s$

A variação do volume com o tempo neste instante é de 1056 cm³/s.