Question

Uma caixa sem a tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com dimensões 12 por 20 polegadas. Devem- se cortar os quadrados de lados x de cada canto e depois dobrar, conforme mostra a figura. Expresse o volume V da caixa como uma função de x.
(não posso anexar a imagem, mas é um quadrado de base 20 e altura 12. Os 4 cantos do quadrado tem um quadradinho pequeno medindo altura e base x)

Answer 1

Um lado da caixa ficara com dimensões de (20 - 2x) = 2.(10 - x) 
O outro lado da caixa ficara com dimensões de (12 - 2x) = 2.(6 - x) 
A altura da caixa ficara com dimensão de = x 

Logo o Volume é dado por 

V(x) = x. 2.(10 - x), 2.(6 - x) = 4x(10 - x).(6 - x) para 0 < x < 6  
V(x) = x. 2.(10 - x), 2.(6 - x) = 4x(x² - 16x + 60) para 0 < x < 6 
V(x) = x. 2.(10 - x), 2.(6 - x) = 4x³ - 64x² + 240x) para 0 < x < 6 

Como queremos V(x) máximo , derivamos e achamos V'(x) = zero 

V'(x) = 12x² - 128x + 240 

Resolvendo Baskara teremos 

x' = 2,427 

x' = 8,239 

Como 0 < x < 6 ficamos com o valor de x = 2,427

V(x) = x. 2.(10 - x), 2.(6 - x) = 4x(10 - x).(6 - x) para 0 < x < 6 

Limitamos para 0 < x < 6 , porque se x > 7 teremos 6 - x
Valor negativo, o que daria um volume negativo , o que não faz sentido.

BONS ESTUDOS!

Answer 2

O volume da caixa em função de x é V(x) = V(x) = x³ - 32x² + 240x.

O pedaço de papelão tem dimensões de 12 por 20 polegadas e será cortados 4 quadradinhos medindo x de lado, esta medida x será a altura da caixa. Quanto maior for x, menor serão as dimensões da base da caixa, ou seja, a área da base da caixa em função de x é:

A(x) = (12 - x)(20 - x)

Portanto, o volume é nada mais que o produto entre área da base e altura:

V(x) = x(12 - x)(20 - x)

Expandindo a expressão, obtemos:

V(x) = x(240 - 12x - 20x + x²)

V(x) = x³ - 32x² + 240x

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