Question

Com relação às posições relativas entre ponto e circunferência, temos que um ponto pode ser interno, externo ou pertencer à circunferência. Quais os possíveis valores de k de modo que o ponto A (-1, 2) seja interno à circunferência representada pela equação a seguir?

$x^{2} +y^{2}+2x-6y-k=0$

a) K > -10.
b) K < -10.
c) K < 10.
d) K > -9.

Answer 1

É dada a equação geral da circunferência

    $x^2+y^2+2x-6y-k=0$

Vamos reescrever a equação acima na forma reduzida, utilizando o completamento de quadrados. Some + 1 + 9 e depois subtraia:

    $(x^2+2x+1)+(y^2-6y+9)-k-1-9=0\\\\ (x+1)^2+(y-3)^2-k-10=0\\\\ (x+1)^2+(y-3)^2=k+10$

Pela equação acima, obtemos o centro da circunferência, que é o ponto C(-1, 3). Sendo r o raio desta circunferência, temos também que

    $r^2=k+10\qquad\quad\mathsf{(i)}$

e como o raio é sempre positivo, já definimos uma primeira condição, que é k > -10.

Para que A(-1, 2) seja interno à circunferência, é preciso que a distância de C até A seja menor que o raio da circunferência:

    $d_{CA}<r\\\\ d_{CA}^2<r^2\\\\ (x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2<r^2\\\\ (-1-(-1))^2+(2-3)^2<k+10\\\\ (-1+1)^2+(2-3)^2<k+10\\\\ 0^2+(-1)^2<k+10\\\\ 1<k+10\\\\ k>1-10\\\\ k>-9$

Resposta: alternativa d) k > -9.

Bons estudos! :-)