Question

Prove que 1+senx + i.cosx / 1-sen x - i.cosx = (tg x + sec x) i para todo x real , x diferente de pi/2 + k.pi

Answer 1

Multiplicando o numerador e o denominador por 1 – senx + icosx temos:

${ ( 1 + senx + i cosx)( 1 -senx + i cosx) \over ( 1 - senx - i cosx )( 1 - senx + i cosx) } \\\\ {(1 + senx + i cosx )(1 - senx + i cosx) \over ( 1 - senx)^2 - (i cosx)^2 }$

* sen²x + cos²x = 1
* (a-b)(a+b) = a² - b²
* i² = -1

${ (1+senx)(1 - senx) + i (1+senx)cosx + i (1 - senx) cosx + (i cosx)^2 \over 1 -2senx + sen^2x +cos^2x} \\\\ = {1-sen^2x -cos^2x +i (cosx +senxcosx + cosx- senxcosx) \over 2 -2senx} \\\\ = { 1 -1 + i (2cosx) \over 2 - 2senx } \\\\ = {2 i cosx \over 2 - 2senx}$

Divide denominador e numerador por 2:

$\Large{{ icosx \over 1 - senx }}$

Multiplica numerador e denominador por 1 + senx

*Obs:

( 1 - senx)( 1 + senx) = 1 - sen²x = cos²x

${(i cosx)( 1 + senx) \over (1-senx)(1+senx) } \\\\ = { i cosx + i cosxsenx \over cos^2x }$

Coloque i em evidência:

$i \left( {cosx \over cos^2x} + {cosxsenx \over cos^2x} \right ) \\\\ i \left( {1 \over cosx} + {senx \over cosx} \right)$

Por definição, 1/cosx = secx e senx/cosx = tgx.

$i (secx + tgx) \\\\ \boxed{ {1 + senx + i cosx \over 1 - senx - i cos x } = i ( tgx + secx)}$

$\mathcal{CQD}$