Question

Urgente preciso galera ! No sistema de coordenadas seguinte estão representados os gráficos de duas funções, f e g. a lei que define f é f(x) = a+b.2^x ( a e b são constantes reais positivas) e g é uma função afim.

a) Determine os valores de a e b.

b) Determine o conjunto de imagem de f.

c) Obtenha a lei que define a função g.

d) Determine as raízes de f e de g.

Answer 1

a) A curva da função f passa pelos pontos (0,3) e (1,5).

Sendo assim,

a + b.2⁰ = 3

a + b = 3 (*)

a + b.2¹ = 5

a + 2b = 5 (**).

Com as equações (*) e (**) podemos montar o seguinte sistema:

{a + b = 3

{a + 2b = 5

Subtraindo as duas equações:

-b = -2

b = 2.

Assim, a + 2 = 3 ∴ a = 1.

b) A lei de formação da função f é $f(x)=2^{x+1}+1$.

Ou seja, a curva da função f está acima da reta y = 1.

Logo, a imagem de f é Im(f) = (1,∞).

c) Como a linha horizontal pontilhada é a reta y = 1, então podemos afirmar que a reta da função g passa pelo ponto (1,1).

Assim, temos que:

g(x) = cx + d

c + d = 1 (*).

Observe que as curvas f e g possuem uma interseção com x = -1.

Então,

$2^{-1+1}+1=-c+d$

-c + d = 2 (**).

Com as equações (*) e (**) podemos montar o seguinte sistema:

{c + d = 1

{-c + d = 2

Somando as duas equações:

2d = 3

$d = \frac{3}{2}$.

Daí,

$c + \frac{3}{2} = 1$

$c = -\frac{1}{2}$.

Portanto, a lei que define a função g é: $g(x)=\frac{-x+3}{2}$.

d) A função f não possui raiz, visto que a curva da mesma está acima da reta y = 1.

Já a função g possui raiz em:

$\frac{-x+3}{2} = 0$

-x + 3 = 0

x = 3.