Por favor me ajudem com essa questão.
De quantas formas distintas poderemos adquirir 25 aves, entre galinhas, codornas e patos, sabendo- se que os preços unitários de cada ave são $ 5,00, $ 2,00 e $ 10,00 respectivamente, se pretendemos gastar exatamente $ 125,00?
Qual o número máximo de galinhas que podem ser adquiridas?
Qual o número máximo de codornas que podem ser adquiridas?
Qual o número máximo de patos que podem ser adquiridos?
Respostas
Considere que:
g = quantidade de galinha
c = quantidade de codorna
p = quantidade de pato
De acordo com o enunciado, temos que:
{g + c + p = 25
{5g + 2c + 10p = 125
Multiplicando a primeira equação por 5:
{5g + 5c + 5p = 125
{5g + 2c + 10p = 125
Subtraindo as duas equações:
3c - 5p = 0
3c = 5p
c = 5p/3
Daí,
g + 5p/3 + p = 25
g + 8p/3 = 25
g = 25 - 8p/3
Portanto, as soluções do sistema são da forma (25 - 8p/3, 5p/3, p).
Como g, c e p representam quantidades, então os mesmos deverão ser números inteiros.
Observe que p deverá ser múltiplo de 3. Assim, podemos dizer que p = 3k.
Então, (25 - 8k, 5k, 3k).
Assim, temos que k > 0 e 25 - 8k > 0 ∴ k < 3,125.
Ou seja, k = 1 ou k = 2.
Se k = 1, teremos 17 galinhas, 5 codornas e 3 patos.
Se k = 2, teremos 9 galinhas, 10 codornas e 6 patos.
Portanto, podemos adquirir as aves de duas maneiras.
O número máximo de galinhas que podem ser adquiridas é 17.
O número máximo de codornas que podem ser adquiridas é 10.
O número máximo de patos que podem ser adquiridos é 6.