Respostas
Como O é o ponto médio de MN, os segmentos MO e NO têm a mesma medida, no caso 15 m, a metade de 30 m.
MO = NO = 15 m
Como os arcos OP e OQ têm centros em M e em N, os segmentos MP e NQ são raios dessa circunferência. Logo, têm a mesma medida de MO e NO. Ou seja:
MP = NQ = 15 m
Assim, os triângulos MOP e NOQ são isósceles. Como o ângulo central desses triângulos é 30°, os ângulos da base medem 75° cada um, pois...
30° + a + a = 180°
30 + 2a = 180
2a = 180 - 30
2a = 150
a = 150/2
a = 75°
No centro da figura, o triângulo POQ também é isósceles. O ângulo central b também mede 30°, pois...
a + b + a = 180°
75 + b + 75 = 180
b + 150 = 180
b = 180 - 150
b = 30°
Assim, os ângulos da base também medem 75°, pelo mesmo motivo explicado anteriormente.
Portanto, os triângulos MOP, NOQ e POQ são semelhantes.
O que temos que fazer para achar a medida x é calcular a medida y.
Utilizando a lei dos senos, temos:
y/sen 30° = 15/sen 75°
y/0,5 = 15/0,97
0,97y = 0,5·15
0,97y = 7,5
y = 7,5/0,97
y = 7,73
Agora, como os triângulos são semelhantes seus lados são proporcionais. Logo:
15/y = y/x
15/7,73 = 7,73/x
15x = 7,73·7,73
15x = 59,75
x = 59,75/15
x = 3,98
Resposta: O comprimento do vão PQ é de, aproximadamente 3,98 m.
