Question

1. Determine o vigésimo primeiro termo da P.A (17, 21, 25 ...).

Answer 1

r = a2 - a1

r = 21 - 17

r = 4



a21 = a1 + 20r

a21 = 17 + 20 * 4

a21 = 17 + 80

a21 = 97

Answer 2

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (17, 21, 25, ...), tem-se que:

a)cada elemento nela presente, exceto o primeiro, será o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 4 unidades (por exemplo, 21=17+4 e 25=21+4). Se um comportamento deste tipo acontece (soma de um mesmo valor para formar os termos seguintes), tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).

b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 17

d)vigésimo primeiro termo (a₂₁): ?

e)número de termos (n): 21

• Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 21ª), equivalente ao número de termos.

f)Embora não se saiba o valor do vigésimo primeiro termo, pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastando-se do zero, à direita deste, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero, porque o terceiro termo é positivo e a ele e aos próximos será sempre somado um valor positivo.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒    

r = 21 - 17 ⇒

r = 4     (Razão positiva, conforme prenunciado no item f acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o vigésimo primeiro termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒  

a₂₁ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₂₁ = 17 + (21 - 1) . (4) ⇒  

a₂₁ = 17 + (20) . (4) ⇒      

a₂₁ = 17 + 80 ⇒

a₂₁ = 97

RESPOSTA: O vigésimo primeiro termo da P.A. (17, 21, 25,...) é 97.

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VERIFICAÇÃO DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₂₁ = 97 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o vigésimo primeiro termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₁ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

97 = a₁ + (21 - 1) . (4) ⇒

97 = a₁ + (20) . (4) ⇒

97 = a₁ + 80 ⇒

97 - 80 = a₁ ⇒

17 = a₁ ⇔            (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 17                 (Provado que o vigésimo primeiro termo é 97.)

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