Estabeleça o domínio das funções a seguir:
A) Y= Log de base 3 e logaritimando (X-1/2)
B) Y= Log de base(x-1) e logaritimando(-3x+9)
C) Y= Log de base (x+2) e logaritimando (x2* - 4)
Respostas
Vamos lá.
Bem, Matheus, como prometido desde ontem, vamos tentar resolver suas questões.
Como vimos, você quer que determinemos apenas o domínio das questões logarítmicas dadas.
Antes veja que:
i) Só há logaritmos de números maiores do que zero (positivos).
ii) A base, por sua vez, também terá que ser maior do que zero e, além disso, terá que ser diferente de "1".
Bem, visto isso, vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
a) y = log₃ (x - 1/2)
Veja: como a base é "3", então ela já é maior do que zero e diferente de "1". Portanto, não iremos nos preocupar com ela.
Portanto, a nossa preocupação ficará apenas com o logaritmando, que é "x - 1/2" (estamos entendendo que seja: "x menos 1/2" e não "(x-1)/2", que seria diferente na determinação do domínio).
Então, considerando que o logaritmando seja "x menos 1/2", então deveremos impor que ele seja maior do que zero, ou seja:
x - 1/2 > 0
x > 1/2 ----- Esta é a resposta para a questão do item "a".
Se você quiser, poderá apresentar o domínio da seguinte forma, o que é a mesma coisa:
S = {x ∈ R | x > 1/2}
Ou, também se quiser, o domínio poderia ser apresentado assim, o que significa o mesmo:
S = (1/2; +∞)
b) y = logₓ₋₁ (3x+6)
Veja: Para a base, deveremos impor que ela seja maior do que zero e diferente de "1". Então:
x - 1 > 0
x > 1
e
x - 1 ≠ 1
x ≠ 1 + 1
x ≠ 2
Assim, para a base, deveremos ter: x > 1 e x ≠ 2.
E, para o logaritmando deveremos impor que seja maior do que zero. Assim:
3x + 6 > 0
3x > - 6
x > -6/3
x > - 2 ----- ou seja, no que se refere ao logaritmando, "x" deverá ser maior do que "-2".
Agora veja: entre ser maior do que "1" e ser maior do que "-2", então prevalece ser o "x" maior do que "1", pois sendo maior do que "1" já é maior do que "-2".
Mas veja que "x" deverá ser diferente de "2", que é uma das restrições quanto à base.
Então, o domínio da questão do item "b" será:
1 < x < 2, ou x > 2 ----- Esta é a resposta para a questão do item "b".
Se você quiser, também poderá apresentar o domínio da seguinte forma, que é a mesma coisa:
S = {x ∈ R | 1 < x < 2, ou x > 2}
E, ainda, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado assim, o que significa o mesmo:
S = (1; 2) U (2; +∞) .
c) y = logₓ₊₂ (x²-4)
Vamos à base, que deverá ser maior do que zero e diferente de "1". Assim, temos para a base:
x + 2 > 0
x > - 2
e
x+2 ≠ 1
x ≠ 1 - 2
x ≠ -1
Assim, para a base, deveremos ter que: x > -2; e x ≠ -1.
Para o logaritmando devemos impor que ele seja maior do que zero. Assim:
x² - 4 > 0
x² > 4
x > +-√(4) ----- como √(4) = 2, então teremos:
x > +- 2 ----- isto significa que:
x < -2, ou x > 2
Note que "x" jamais irá poder ser menor do que "-2", pois já vimos que, no caso da base, "x" terá que ser maior do que "-2" e não menor. Além disso, ainda para a base "x" terá que ser diferente de "-1".
Dessa forma: entre "x" ser maior do que "2" (no caso do logaritmando) e ser maior do que "-2" e diferente de "-1" (no caso da base), vai prevalecer > 2, pois sendo x > 2 já será maior do que "-2" e também já será diferente de "-1".
Logo, o domínio da questão do item "c" será:
x > 2 ------ Esta é a resposta para a questão do item "c".
Se quiser, também poderá apresentar o domínio assim, o que é a mesma coisa:
S = {x ∈ R | x > 2}
Ou ainda, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado da seguinte forma, o que significa o mesmo;
S = (2; +∞) .
Deu pra entender bem o desenvolvimento de todas as três questões?
OK?