Question

Um fazendeiro quer cercar uma área de 1,5 milhão de pés quadrados num campo retangular e então dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como deve fazer isso de forma a minimizar o custo da cerca?

Answer 1

Sabemos que a área que ele quer cercar é: 1,5 milhões de pés

Logo A = 1.500.000 pés

Sabemos também que A = x.y = 1.500.000

O perímetro de cerca que vamos usar é:

P = 2x + 2y + x (referente a cortar esse campo ao meio)

O que temos que otimizar é o perímetro, ou seja, a quantidade de cerca gasta.

Vamos deixar o perímetro apenas em função de x:

y = 1.500.000/x

Logo:

P(x) = 3x + (2*1.500.000)/x

P(x) = 3x + 3.000.000/x

Derivando:

P'(x) = -3.000.000/x² + 3

P'(x) = (-3.000.000 + 3x²)/x²

Descobrindo os números críticos:

x = 0 e x = 1.000

Porém zero não pertence ao domínio.

Descobrindo o mínimo local, temos:

P'(1) < 0

P'(15000) > 0

Logo, temos um mínimo local em x = 1000 pés

1.500.000 = x*y

1.500.000/1000 = y

y = 1500 pés

Conclui-se então que a forma de minimizar os custos da cerca é ter como dimensão dessa área a ser cercada x= 1000 pés e y = 1500 pés.