Question

Calcule a função inversa de f(x)=1/sqrt(1+x²).

Answer 1

para determinar a inversa de y= f(x) temos que determinar x =f(y) logo mudar as variáveis

$f(x) = y \\ \\ y= \frac{1}{ \sqrt{1+x^2} } \\ \\ y \sqrt{1+x^2} =1 \\ \\ (y \sqrt{1+x^2})^2 =1^2 \\ \\ y^2(1 + x^2)=1 \\ \\ 1-x^2= \frac{1}{y^2} \\ \\ 1- \frac{1}{y^2} =x^2$

$x= \sqrt{1- \frac{1}{y^2} } \\ \\ f^{-1} (x)= \sqrt{1- \frac{1}{y^2} }$

Answer 2

 f(x)=   1        ==>         (√(1-x²) )              
      √(1+x²)            (√(1+x²))(√(1-x²))

    y    = √(1- x²)                                            
               1 - x²
     
  y = √(1- x²)  ==> x =  √(1- y²)                        
           1 - x²                 (1 - y²)
elevando ao quadrado por causa da raiz quadrada, temos :

                             
  [ x ]²  = [√(1- y²)]²  ==>  x² =   (1-y²)                
              [ (1 - y²) ]²                (1 - y²)²

x² =        1       ==> x²(1 - y²) = 1 ==> x² - x² y² = 1 ==>    x² y² = x² - 1
          (1 - y²) 

 x² y² = x² - 1  ==> y² =  x² - 1
                                        x²

y = √x² - 1  ==> y^-1 = √x² -1
         √x²                          x