Question

Sua empresa foi contratada para fazer um projeto para captação de água da chuva em uma residência. Para isso, deve ser construído um tanque cilíndrico para armazenar a água, com capacidade para 1.000 litros. Sua tarefa é determinar as dimensões que minimizarão o custo para construir esse reservatório.

a) Descreva, sucintamente, como você irá levar o custo em consideração para resolver o problema;

b) Escreva uma fórmula S (x) para a área do tanque em função da medida x do raio da base;

Answer 1

Olá!

a) O custo total para produção do tanque será baseado na quantidade total de material, em m², usado para produzi-lo. Assim, ao minimizarmos a área do cilindro, teremos o menor custo.

b) Temos que o volume de um cilindro pode ser dado por:

$V = \pi r^{2} . h$

Como nesse caso, o volume a ser projetado deve possuir 1000 L de capacidade, teremos que:

$1000 = \pi r^{2} . h$

$h = \frac{1000}{\pi r^{2}}$

A área desse reservatário, por sua vez, será dada por:

$A = 2(\pi r^{2}) + 2\pi . h$

$A = 2\pi r^{2} + 2\pi r. \frac{1000}{\pi r^{2}}$

$A = 2\pi r^{2} + \frac{2000}{r}$

Se plotarmos essa função, teremos que o minimo dela ocorrerá quando r = 5,42 m e consequentemente, h = 10,84 m.

Espero ter ajudado!