Question

Determine A, B e C na decomposição

$\frac{1}{ {x}^{3} - 1 } = \frac{a}{x - 1} + \frac{bx + c}{ {x}^{2 } + x + 1 }$
galera ajudem ai por favor, esse é um assunt meio complicado para mim ainda, ele envolve sistema e polinômio

Answer 1

Como x³ - 1 = (x+1).(x²+x+1), substituindo na equação:

       1           =         a         +      bx +c       =  

     x³ - 1               x - 1               x² + x + 1

          1               =         a         +      bx +c       =  

(x - 1).(x² + x + 1)            x - 1             x² + x + 1

Multiplicando todos os termos da equação pelo polinômio (x² + x + 1):

      1.  (x² + x + 1)         =         a.(x² + x + 1)         +      (bx +c).(x² + x + 1)       =  

    (x - 1).(x² + x + 1)                        (x - 1)                             x² + x + 1

Simplificando os termos na equação por (x² + x + 1):

      1         =         a.(x² + x + 1)         +  (bx +c) =  

    (x - 1)                    (x - 1)                        

Multiplicando todos os termos da equação por (x - 1):

  1.  (x - 1)   =   a.(x² + x + 1).(x - 1)+  (bx +c).(x - 1) =  

    (x - 1)                     (x - 1)  

 Simplificando todos os termos da equação por (x - 1):

     1      =   a.(x² + x + 1)+  (bx +c).(x - 1)  ⇒  

   Multiplicando entre si:

   1 = ax² + ax + a + bx² + (c-b)x - c ⇒

    ax² + bx² + ax + (c-b)x + (a - c - 1) = 0  ⇒                        

(a+b)x² + (a-b+c)x + (a - c - 1) = 0  ⇒

As condições para que a equação de 2º grau seja igual a zero:

a+b = 0; a-b+c = 0 e a - c - 1 = 0, então resolvendo os sistemas das incógnitas:

a+b = 0

a-b+c = 0

2a + c = 0 e a - c - 1 = 0 ⇒ a - c = 1,

    2a + c = 0

       a - c = 1

          3a = 1, então; a = 1/3

 a - c  = 1 ⇒ c = a-1 ⇒substituindo: c=1/3 - 1 ⇒ c=(1-3)/3 ⇒c = -2/3

a+b = 0 ⇒ b= -a  ⇒ b = - 1/3

Answer 2

Resposta:

na imagem abaixo.