(OBMEP) As circunferências C1 e C2 são tangentes à reta L nos pontos A e B e tangentes entre si no ponto C. Provê que o triângulo ABC é retângulo.
----URGENTE----
Respostas
Como as circunferências são tangentes no ponto C, então os pontos O₁, C e O₂ são colineares.
Além disso, os segmentos O₁C e O₁A, O₂B e O₂C são congruentes entre si.
Então, podemos dizer que os ângulos O₁CA e O₁AC são congruentes.
Da mesma forma, os ângulos O₂CB e O₂BC são também congruentes.
Considere que O₁CA = α e O₂CB = β.
Como dito inicialmente que os centros das circunferências e o ponto C estão na mesma linha, então a soma dos ângulos O₁CA, O₂CB e ACB tem que ser igual a 180°.
Assim,
α + β + C = 180
C = 180 - (α + β).
Agora, observe o triângulo ABC.
Como os segmentos O₁A e O₂B são perpendiculares (pois A e B são pontos de tangência), então:
o ângulo A mede 90 - α e o ângulo B mede 90 - β.
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, temos que:
180 - (α + β) + 90 - α + 90 - β = 180
-2α - 2β + 180 = 0
α + β = 90.
Logo, C = 90°.
Portanto, o triângulo ABC é retângulo.
