Question

Cinqüenta animais ameaçados de extinção são colocados em uma reserva.
Decorridos anos, a população desses animais é estimada por:

a) Em que instante essa população animal atinge seu máximo?
b) Quantos animais haverá, aproximadamente, neste instante?

Answer 1

Olá!

a) Como a população desses animais é estimada pela função P(t), podemos encontrar seu máximo, derivando a função e igualando a zero.

Para derivar essa função podemos usar a regra do quociente:

$\frac{u}{v} = \frac{u'.v-u.v'}{v^{2}}$

Sendo u = t²+6t + 30 e v = t²+30, obtemos:

$\frac{(2t+6).(t^{2}+30)-(t^{2}+6t+30).(2t)}{(t^{2}+30)^{2}}$

$\frac{2t^{3}+60t+6t^{2}+180-2t^{3}-12t^{2}-60t}{(t^{2}+30)^{2}}$

$\frac{-6t^{2}+180}{(t^{2}+30)^{2}}$

Logo:

$P'(t) = 50 . \frac{-6t^{2}+180}{(t^{2}+30)^{2}}$

Igualando a zero, temos que t = √30.

b) Usando t = √30, teremos que:

$P(√30) = 50 . \frac{\sqrt{30}^{2}+6(\sqrt{30})+30}{\sqrt{30}^{2}+30}$

$P(√30) = 50 . \frac{92,9}{60}$ = 77,4 ≅ 77 animais.

Espero ter ajudado!