Question

Resolva a equação de bernoulli x dy/dx + y+x^2y^2=0

Answer 1

$\boxed{x* \frac{dy}{dx}+y+x^2*y^2 =0}$

para resolver escrevemos a equaçao na forma
$\boxed{\boxed{y' + p(x)*y = q(x)*y^n}}$

dividindo a equação por x... para ter (1 dy/dx) que é igual a y'

$\frac{x* y'+y+x^2*y^2 }{x} =0\\\\ \frac{x*y'}{x}+ \frac{y}{x}+ \frac{x^2*y^2}{x}=0 \\\\ y' + \frac{y}{x}+x*y^2=0 \\\\\boxed{\boxed{ y' + \frac{y}{x}= -xy^2 }}$

agora podemos identificar 
$\Bmatrix{p(x)= \frac{1}{x} \\\\q(x)=-x\\\\n=2}\end$


passando o y^(2) pro outro lado dividindo
$\boxed{ \frac{1}{y^2}*y' + \frac{1}{xy}=-x }$

para transformar em uma edo linear 
faz a substituição 
U = (1/y)
U' = -1/y²

então temos
$\boxed{-U'+ \frac{U}{x}= -x }$

resolvendo a equação
$y' +p(x)y =q(x)$

y será dado por
$\boxed{y =e^{-\int p(x)}*[\int q(x) * e^{\int p(x)}.dx +C]}$

multiplicando a nossa equação por -1
$U' - \frac{U}{x} = x$

p(x) = -1/x
∫p(x) = -ln(x)

q(x) = x

∫q(x) *e^(x)
= ∫ x*e^(-ln(x)) dx
= ∫ x*(1/x)dx  =  x



$U = e^{-(-ln(x)) }*[x+C]\\\\U(x) = x*[x+c]\\\\ \boxed{U= x^2+Cx }$

como U = 1/y


$\frac{1}{y}= x^2+Cx\\\\ \boxed{ \frac{1}{x^2+Cx}=y }$