A altura de uma pirâmide regular quadrangular é 18 cm e cada aresta da base mede 12cm. Um plano A, paralelo a base é distante 9cm do vértice, intercea a pirâmide. Qual o volume do tronco da pirâmide assim determinada?
Respostas
vt = 12². 18/3
vt = 864 cm³ ( volume total da pirâmide )
( 18 / 9 )³= 864 / x
8x = 864
x = 108
y = vt - x
y = 864 - 108
y = 756 cm³
---------------- > 756 cm³
O volume do tronco da pirâmide é 756 cm³.
Para resolvermos essa questão, devemos aprender o que é a pirâmide.
O que é a pirâmide?
A pirâmide é uma figura geométrica espacial formada por uma base poligonal (figura plana com os lados sendo segmentos de reta) e um ponto em um plano acima dessa base. Assim, todos os vértices (pontos) da base são ligados a esse ponto por arestas (segmentos de reta).
O volume de uma pirâmide pode ser obtido através da multiplicação da área da sua base pela sua altura e dividindo esse valor por 3.
Com isso, para encontrarmos o volume do tronco da pirâmide com a distância do vértice igual a 9 cm, devemos encontrar o volume total da pirâmide e encontrar o volume da pirâmide com essa altura menor. Assim, o volume do tronco será igual à diferença entre os volumes.
Como a pirâmide é quadrangular e regular, temos que todos as arestas possuem a mesma medida, formando um quadrado. Assim, a área de um quadrado é igual à multiplicação da medida da sua aresta por ela mesma. Portanto, AB = 12 cm x 12 cm = 144 cm².
Então, o volume total da pirâmide é igual a VP1 = 144 cm² x 18 cm/3 = 2592 cm³/3 = 864 cm³.
Para descobrirmos o volume da pirâmide menor, devemos observar que a altura do plano é distante do vértice por 9 cm. Assim, temos que a altura dessa pirâmide é 9 cm.
Para encontrarmos a medida da aresta dessa pirâmide, devemos utilizar razão e proporção. Temos que a razão entre a altura da pirâmide maior e a sua aresta será a mesma entre a altura da pirâmide menor e sua aresta.
Portanto, temos que 18/12 = 9/aresta. Assim, 3/2 = 9/aresta, ou aresta = 9*2/3 = 6. Portanto, a aresta da pirâmide menor possui 6 cm de comprimento.
Então, a área da sua base é igual a 6 cm x 6 cm = 36 cm². Com isso, seu volume se torna VP2 = 36 cm² x 9 cm/3 = 108 cm³.
Por fim, temos que o volume do tronco é igual ao volume total da pirâmide VP1 e subtraindo o volume da pirâmide menor VP2.
Portanto, concluímos que o volume do tronco da pirâmide é VP1 - VP2 = 864 cm³ - 108 cm³ = 756 cm³.
Para aprender mais sobre o volume da pirâmide, acesse:
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