Suponhamos que a função f(x) = 0,04x3 - 0,4x2 + 0,59x + 25 fornece o preço de uma ação durante 8 horas de um pregão diário. Analise a função usando as derivadas e os seus significados, verificando se a função alcançou um preço máximo e/ou mínimo e quais foram estes valores.
Respostas
Resposta:
Os pontos de inflexão são pontos de máximo local em x' = 5,82 e mínimo local em x" = 0,84
Explicação passo-a-passo:
A derivada descreve a inclinação da reta tangente. Assim, quando tem-se:
f'(x)>0, a inclinação é positiva então a função é crescente.
f'(x)<0, a inclinação é negativa então a função é decrescente.
f'(x)=0, a inclinação é nula, então a função está nos pontos de inflexão (máximo e mínimo).
f(x) = 0,04x3 - 0,4x2 + 0,59x + 25
Primeiramente deve-se derivar a função f(x). Como se trata de um polinômio pode-se aplicar a derivada da potência em cada termo, onde obtém-se:
f'(x)= 0,12x^2 - 0,8x + 0,59
Iniciamos encontrando os pontos de inflexão, pontos onde a derivada é igual a zero, ou seja, onde a inclinação da reta tangente é nula.
f'(x) = 0 = 0,12x² - 0,8x + 0,59 ⇒ (12/100)x² - (80/100)x + 59/100 = 0 (como todos tem o mesmo denominador, passa 100 multiplicando zero)⇒
12x² - 80x + 59 = 0
Como se trata de uma equação do segundo grau pode-se encontrar as raízes aplicando a fórmula de Bhaskara, onde encontram-se as raízes:
Δ = b²-4ac ⇒ Δ = (-80)² - 4(12)(59) ⇒ Δ = 6400-2832 ⇒ Δ = 3568
x = -b ± √Δ ⇒ x = - (-80) ± √3568 ⇒ x = 80 ± 59,73 ⇒
2a 2 . (12) 24
x' = 80 + 59,73 ⇒ x' = 5,82
24
x" = 80 - 59,73 ⇒ x" = 0,84
24
Os pontos de inflexão são pontos de máximo local em x' = 5,82 e mínimo local em x" = 0,84