Question

O logaritmo de um certo número em determinada base é igual a 4, e o logaritmo desse mesmo número com base igual ao triplo da anterior é igual a 2. Qual é esse número?

Answer 1

Chamando o número de x e a base de b, temos:

$\left \lbrace \begin{array}{l} log_{b}(x) = 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\\ log_{3b}(x) = 2 \end{array} \right. \\ \\ \left \lbrace \begin{array}{l} {b}^{4} = x \\ \\ (3b {)}^{2} = x \end{array} \right.$

Como ambas as equações são iguais a x, podemos igualá-las:

${b}^{4} = (3b {)}^{2} \\ {b}^{4} = 9 {b}^{2} \\ {b}^{4} - 9 {b}^{2} = 0 \\ {b}^{2} ( {b}^{2} - 9) = 0 \\ {b}^{2} (b + 3)(b - 3) = 0 \\ {b}^{2} = 0 \rightarrow \: b = 0 \: \: (nao \: \: convem) \\ \\ b + 3 = 0 \rightarrow b = - 3 \: (nao \: \: convem) \\ \\ b - 3 = 0 \rightarrow \: \boxed{b = 3}$

Agora, substituímos o valor encontrado em alguma das equações iniciais para obter x:

${b}^{4} = x \\ {3}^{4} = x \\ 81 = x \\\boxed{ x = 81}$

RESPOSTA: Esse número é 81.

Answer 2

Vamos lá:

㏒ₓy = 4       ⇒⇒ x⁴ = y

㏒₃ₓy = 2    ⇒⇒ (3x)² = y

Substituindo ...

x⁴ = 9x²

x⁴/x² = 9

x⁽⁴⁻²⁾ = 9

x² = 9

x = 3

y = 9.3² = 81

Espero ter ajudado !!!!