Question

Calcule a massa da placa x2 + y2 ≤25 no plano Oxy com densidade e ajudar a resolver a questão em anexo

Answer 1

Resposta:

A massa da placa é $\dfrac{250}{3}\pi$.

Explicação passo-a-passo:

A massa da placa é dada pelo integral duplo:

$\displaystyle\iint\limits_R \delta(x,y) \textrm{ d}x \textrm{ d}y,$

onde

$R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2 \leqslant 25\}$

e

$\delta(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}.$

Notando que $R$ é um círculo de raio 5 centrado na origem e que $\delta$ possui simetria radial, é útil mudar para coordenadas polares:

$\begin{cases}x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta\end{cases},$

pelo que se pode escrever:

$r^2 = x^2 + y^2.$

Assim, a densidade é simplesmente dada por $r$ e a região de integração é agora:

$T = \{(r,\theta)\in[0,\infty[\times[0,2\pi[: 0 < r < 5\}.$

Uma vez que o jacobiano das coordenadas polares é $r$, o elemento de superfície é:

$\textrm{ d}x\textrm{ d}y = r\textrm{ d}r\textrm{ d}\theta.$

O integral duplo fica então:

$\displaystyle \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^5 r^2 \textrm{ d}r \textrm{ d}\theta = \int\limits_0^{2\pi}\textrm{ d}\theta \int\limits_0^5 r^2 \textrm{ d}r = 2\pi\left[\dfrac{r^3}{3}\right]_0^5 = \dfrac{2\pi}{3}\times5^3 = \dfrac{250}{3}\pi.$