Question

Preciso de ajuda pra achar o valor de b

E também tenho uma dúvida sobre equações exponenciais.
Posso fazer isso numa equação exponencial?:
$\frac{2}{10} = {2}^{ \frac{3500}{b} }$
${2}^{1} = {2}^{ \frac{3500}{b} } \times 10$
${2}^{1} = {2}^{ \frac{3500}{b} } \times 2 {}^{2} \times {2}^{2} \times {2}^{1}$
$1 = \frac{3500}{b} + 2 + 2 + 1$

Answer 1

Olá...

Você estava indo bem. Quando você transformou o 10 em potência, acabou errando na conversão. Isto porque 2² × 2² × 2 = 4 × 4 × 2 = 32.. Logo o resultado disso não confere com 10... mas, vamos com calma e tentarei explicar passo a passo:

$40 = 200 \times {2}^{ \frac{ {50}^{2} - 120 \times 50}{b} }$

Igualei o A(x) como 40 e os X como 50. Resolvendo a potência primeiro:

50² – 120×50 = 2500 – 6000 = –3500

substituindo a equação por –3500, ficará:

$40 = 200 \times {2}^{ - \frac{3500}{b} }$
Expoente negativo significa que é uma fração, pois o expoente estava no denominador e subiu para o numerador. Sendo assim:

${2}^{ - \frac{3500}{b} } = \frac{1}{ {2}^{ \frac{3500}{b} } }$

Substituindo na equação e lançando o expoente de base 2 no denominador para o numerador do outro lado da equação:

$40 \times {2}^{ \frac{3500}{b} } = 200$


Tirando o MMC de 40 será:
40 | 2
20 | 2
10 | 2
5 | 5
1

a potência de 40 = 2³×5

tirando o MMC de 200 será:

200 | 2
100 | 2
50 | 2
25 | 5
5 | 5
1

a potência de 200 = 2³×5²

Substituindo na equação:

${2}^{3} \times 5 \times {2}^{ \frac{3500}{b} } = {2}^{3} \times {5}^{2}$
lançando o 2³ e o 5 para o outro lado da equação, obteremos frações. Logo, 2³/2³ = 1 e 5²/5¹ = 5. Logo, a equação ficará:

${2}^{ \frac{3500}{b} } = 5$

A potência fracionada é o mesmo que ter uma raiz com o índice da raiz igual ao denominador da potência fracionada:

${2}^{ \frac{3500}{b} } = \sqrt[b]{ {2}^{3500} }$

Substituindo na equação e lançando a raiz para o lado do 5:

${2}^{3500} = {5}^{b}$

Nesta parte necessita conhecee um pouco de logaritmo,, pois iremos trabalhar com logaritmos. Então eu preciso reescrever toda esta equação em logaritmos. Logo:

$log_{2}( {5}^{b} ) = 3500$

Existe uma propriedade em que o expoente do logaritmando tomba pra fora, multiplicando a o logaritmo:
$b \times log_{2}(5) = 3500$

Isolando b, teremos que:
$b = \frac{3500}{ log_{2}(5) }$

Logo o valor de b para A(50) de 40 é 3500/log2(5).