Question

A área definida por $\int\limits^5_1 ({x^{2}- x }) \, dx$ é (use uma casa decimal):

Answer 1

O que temos é uma integral definida no intervalo [ 1,5 ], onde f(x) = x² - x.

Uma integral definida sempre nos dá um número, ou seja, nesse caso a área que o exercício pede. Antes de tudo, precisamos encontrar a primitiva de f(x). Mas o que é uma primitiva? É uma função cuja sua derivada nós dá o f(x).

É conveniente denotarmos da seguinte maneira:

f(x) = g'(x), onde g(x) é a primitiva de f(x).

Sabendo disso, usaremos uma regra que serve para encontrarmos a primitiva de potências. Sempre que tivermos x elevado a n, a sua primitiva será

$\frac{{x}^{n + 1}}{n + 1}$

Portanto a integral de x² - x é igual a (x³ / 3) - ( x² / 2).

Calculando g(5) - g(1), temos:

= ( 5³ / 3 ) - ( 5²/ 3 ) - ( ( 1³ / 2 ) - ( 1² / 2 ) )

= ( 125 / 3 ) - ( 25 / 3 ) - ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 )

= ( 100 / 3 )

≈ 33,3

Essa é a área pedida.