Question

Qual o volume do sólido obtido rotacionando no eixo y da região delimitada por
f(x)=32x-5 x^{2) e pelo eixo x.
Só aceito resposta com explicação.

Answer 1

Resposta:

Conforme abaixo!

Explicação passo-a-passo:

Boa noite!

As raízes dessa equação:

$f(x)=32x-5x^2\\f(x)=0\\32x-5x^2=0\\x(32-5x)=0\Rightarrow\begin{cases}x=0\\x=\dfrac{32}{5}\end{cases}$

Bom, então, o intervalo de integração será de 0 a 32/5.

Agora, pensemos em um 'retângulo' cuja base meça dx e cuja altura seja f(x). Para obter o volume deste retângulo ao redor do eixo y, basta calcularmos o comprimento de uma volta ao redor do eixo y, com raio igual à distância deste retângulo até o eixo y, multiplicado pela área do retângulo$2\cdot\pi\cdot x\cdot f(x)\;dx$

Então, facilmente, obtemos o volume:

$\displaystyle{V=\int_{0}^{\dfrac{32}{5}}\;2\cdot\pi\cdot x\cdot f(x)\;dx}\\\\\displaystyle{V=2\pi\cdot\int_{0}^{\dfrac{32}{5}}\; 32x^2-5x^3\; dx}\\\\V=2\pi\cdot\left[\dfrac{32x^3}{3}-\dfrac{5x^4}{4}\right]_{0}^{\dfrac{32}{5}}\\\\V=2\pi\cdot\left[\dfrac{32}{3}\cdot\left(\dfrac{32}{5}\right)^3-\dfrac{5}{4}\cdot\left(\dfrac{32}{5}\right)^4\right]\\\\V=2\pi\cdot\left(\dfrac{32^4}{3\cdot 5^3}-\dfrac{32^4}{4\cdot 5^3}\right)\\\\V=2\pi\cdot\left(\dfrac{4\cdot 32^4-3\cdot 32^4}{3\cdot 4\cdot 5^3}\right)\\\\V=2\pi\cdot\dfrac{32^4}{3\cdot 4\cdot 5^3}\\\\V=\dfrac{524\,288}{375}\cdot\pi$

Espero ter ajudado!