Question

Calcule o fluxo de F(x,y,z) = (x^2, -2xy,3xz) sobre a superfície da região sólida limitada pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 no primeiro octante

Alternativas

Alternativa 1:
pi

Alternativa 2:
2pi

Alternativa 3:
3pi

Alternativa 4:
4pi

Alternativa 5:
5pi

Answer 1

Olá!

Nesse tipo de questão, o primeiro passo a se fazer é parametrizar a superfície para podermos calcular a integral do fluxo F(x,y,z) sobre a imagem desejada.

Podemos notar que a superfície se trata de uma esfera, a parametrização de uma esfera é feita da seguinte forma:

r(u,v) = (Rsen(u)cos(v), Rsen(u)sen(v), Rcos(u))

Sendo u e v ângulos correspondentes a dimensão da esfera.

Depois de parametrizar, precisamos derivar o vetor em relação a u e em relação a v, encontrando $r_u$ e $r_v$.

O fluxo do campo é dado por:

$\int \:F\left(r\left(u,v\right)\right)\left(r_u\times r_v\right).du.dv$

Portanto, logo depois de achar  $r_u$ e $r_v$, é necessário fazer o produto vetorial entre os dois, e em seguida, realizar o produto escalar do resultado da conta anterior com o F(r(u,v)).

Após realizar esses cálculos, basta calcular a integral de acordo com os limites de u e v.

Espero ter ajudado!