Question

Considere as funções f(x) = x²-2x+2 e g(x)= x². os gráficos delimitam uma região do plano que é apresentada a seguir. Usando integrais , determinar o valor da área dessa regiao cujo valor é dado por : (figura abaixo)

Answer 1

Precisamos começar a chando a intersecção das curva.

Fazemos isso igualando as funções:

x² - 2x + 2 = x²

-2x + 2 = 0

-2x = -2

x = 1

Os limites horizontais da area são, portanto, x = 0  e  x = 1.

A integral nos da a área embaixo da curva, logo para calcular a área  requisitada, podemos fazer:

$\int\limits^{1}_{0} {f(x)} \, dx -\int\limits^1_0 {g(x)} \, dx \\\\\int\limits^{1}_{0} {(x^2-2x+2)} \, dx -\int\limits^1_0 {x^2} \, dx \\\\\\\int\limits^{1}_{0} {(x^2-2x+2-x^2)} \, dx\\\\\int\limits^{1}_{0} {(-2x+2)} \, dx\\\\\left(\frac{-2x^2}{2}+2x\right|^1_0\\\\(\frac{-2.(1)^2}{2}+2.(1))-(\frac{-2.(0)^2}{2}+2.(0))\\\\\frac{-2}{2}+2\\\\-1+2\\\\1$

Resp: a area mede 1u.a.