Question

(Ufc 2006) No plano cartesiano, x^2 - y^2 + 5x - 5y = 0 é uma equação de:

a) um conjunto vazio
b)um conjunto paralelas
c) uma hipérbole
d) duas retas paralelas
e) duas retas concorrente

resposta : letra E
por que?

Answer 1

Resposta:

Duas retas concorrentes, afinal, como o produto entre os coeficientes angulares é (- 1), podemos concluir que as retas são perpendiculares!

Explicação passo-a-passo:

$\\ \displaystyle \mathsf{x^2 - y^2 + 5x - 5y = 0} \\\\ \mathsf{x^2 + 5x = y^2 + 5y} \\\\ \mathsf{\left [ \left ( x + \frac{5}{2} \right )^2 - \frac{25}{4} \right ] = \left [ \left ( y + \frac{5}{2} \right )^2 - \frac{25}{4} \right ]} \\\\\\ \mathsf{\left ( x + \frac{5}{2} \right )^2 = \left ( y + \frac{5}{2} \right )^2 - \frac{25}{4} + \frac{25}{4}} \\\\\\ \mathsf{\left ( x + \frac{5}{2} \right )^2 = \left ( y + \frac{5}{2} \right )^2}$

$\\ \displaystyle \mathsf{\left ( y + \frac{5}{2} \right )^2 = \left ( \mathsf{x + \frac{5}{2}} \right )^2} \\\\\\ \mathsf{y + \frac{5}{2} = \sqrt[2]{\left ( \mathsf{x + \frac{5}{2}} \right )^2}} \\\\\\ \mathsf{y + \frac{5}{2} = \pm \left ( \mathsf{x + \frac{5}{2}} \right )} \\\\\\ \Rightarrow \begin{cases} \mathsf{y + \frac{5}{2} = x + \frac{5}{2} \qquad \qquad (i)} \\\\ \mathsf{y + \frac{5}{2} = - x - \frac{5}{2} \qquad \quad (ii)}\end{cases}$

Em (i), temos:

$\\ \mathsf{y + \frac{5}{2} = x + \frac{5}{2}} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{y = x}}}$

Em (ii), temos:

$\\ \mathsf{y + \frac{5}{2} = - x - \frac{5}{2}} \\\\\\ \mathsf{y = - x - \frac{5}{2} - \frac{5}{2}} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{y = - x - 5}}}$