Question

Qual deve ser o raio da circunferência com centro O(0,0) para que a reta x - 2y - 10 = 0 seja

tangente a essa circunferência?

Answer 1

Observe que para a reta ser tangente à circunferência, temos que a distância do centro à reta tem que ser igual ao valor do raio.

Se a distância for menor que o raio, então a reta será secante à circunferência e se for maior, não haverá interseção.

Suponha que temos o ponto (x₀,y₀) e uma reta ax + by + c = 0. Então, a distância entre o ponto e a reta é dada pela fórmula:

$d=\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Como queremos calcular a distância entre o ponto (0,0) e a reta x - 2y - 10 = 0, então:

$r=\frac{|1.0 - 2.0 - 10|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}$

$r=\frac{|-10|}{\sqrt{5}}$

$r=\frac{10}{\sqrt{5}}$

Racionalizando:

$r=\frac{10}{\sqrt{5}}.\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

$r=\frac{10\sqrt{5}}{5}$

r = 2√5

Portanto, para que a reta x - 2y - 10 = 0 seja tangente à circunferência com centro na origem, o raio da circunferência deverá ser igual a 2√5.