Question

Seja f: R-->R uma função que satisfaz f(x+y)=f(x)+f(y), x,y eR. Calcule f(0). Conclua que f é ímpar, em seguida, que f(x-y)= f(x) -f(y), x,y eR

Answer 1

Resposta:

F(x+y)= f(x)+ f(y)

Supondo que x=y

f(2x)=2f(x)

f(x)=f(2x)/2

Supondo que x=1

f(1)=f(2)/2

Agora vamos fazer um simples teste

x=2,

f(2)=f(4)/2

x=3,

f(3)=f(6)/3

.

.

.

x=n

f(n)=f(2n)/n

Como x=y

x=n

y=n

f(2n)=2f(n), absurdo pós deva satisfazer a relação f(x+y)=f(x)+f(y), neste caso não satisfaz.

Portanto x e y são diferentes. Supondo que x=a e y=b

f(a+b)= f(a)+ f(b)

f(a)=f(a+b)-f(b)

Agora suponha que a=1 e b=2

f(1)=f(3)-f(2)

Se a=2 e b=1

f(2)=f(3)-f(1)

Se a=2 e b=3

f(2)=f(5)-f(3)

E no caso contrário

f(3)=f(5)-f(2)

Generalizando,

f(a)=f(a+b)-f(b)

Ou

f(b)=f(a+b)-f(a)

f(0)--> x+y=0

x=-y

f(0)=f(x)+f(-x)

Como as funções são de variáveis opostas

f(0)=0. Como temos algo do tipo f(-x)=-f(x), trata-se de uma função ímpar.

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f(x-y)=f(x)-f(y)

Suponha que x=y

f(0)=0, absurdo pois não satisfaz a relação f(x-y)=f(x)-f(y). Logo x diferente de y e o caso de generalização é semelhante.