Question

Calcule a integral abaixo:


$\displaystyle \mathsf{\int e^{- st} \cdot \sin t \ dt}$


Onde $\mathtt{s \ \textgreater \ 0}$.

Answer 1

Essa integral pode ser resolvida pela técnica de integração por partes. Essa integração consiste em integrar um produto de funções ( podemos dizer assim ). A demonstração dessa técnica você deve ter visto, mas se não viu é bem simples, não vou demonstrar aqui para não ficar muito longo. A técnica é dado pela integral a baixo:

$\displaystyle\int udv=uv-\displaystyle\int vdu$

Assumindo $u=e^{-st}$ então $du=e^{-st}.(-s)dt$.

Assumindo $dv=sin~t~dt$ então $v=-cos~t$

Logo,

$\displaystyle\int e^{-st}sin~t~dt=e^{-st}(-cos~t)-\displaystyle\int e^{-st}(-s)(-cos~t)dt\\ \\ \\ \displaystyle\int e^{-st}sin~t~dt=e^{-st}(-cos~t)-s\displaystyle\int e^{-st}cos~t~dt$

Veja que não ficamos com uma integral tão simples assim. Dessa forma, é conveniente usarmos a integração por partes novamente, mas, dessa vez, vamos considerar $u=e^{-st}$ e $du=e^{-st}(-s)dt$, onde $dv=cos~t~dt$ e $v=sen~t$. Logo,

$\displaystyle\int e^{-st}cos~t~dt=e^{-st}sin~t+s\displaystyle\int e^{-st}sin~t~dt$

Vamos substituir toda essa integral no lugar da última integral que encontramos anteriormente. Ou seja,

$\displaystyle\int e^{-st}sin~t~dt=e^{-st}(-cos~t)-s~[e^{-st}sin~t+s\displaystyle\int e^{-st}sin~t~dt ]\\ \\ \\ \displaystyle\int e^{-st}sin~t~dt=e^{-st}(-cos~t)-se^{-st}sin~t-s^2\displaystyle\int e^{-st}sin~t~dt\\ \\ \\ s^2\displaystyle\int e^{-st}sin~t~dt +\displaystyle\int e^{-st}sin~t~dt=e^{-st}(-cos~t)-se^{-st}sin~t\\ \\ \\ (s^2 +1)\displaystyle\int e^{-st}sin~t~dt = e^{-st}(-cos~t)-se^{-st}sin~t\\ \\ \\ \boxed{\displaystyle\int e^{-st}sin~t~dt=\dfrac{e^{-st}(-cos~t)-se^{-st}sin~t}{(s^2+1)}+k}$

Espero ter ajudado.