Question

Como resolver o sistema: {x^y=y^x ex^3=y^2 para x e y pertencente a R. Por favor. ajudem-me.

Answer 1

Olá José!

Resposta:

$\boxed{\mathsf{S = \left \{ \left ( \frac{9}{4}, \frac{27}{8} \right ), \left ( 1, 1 \right ) \right \}}}$

Explicação passo-a-passo:

Resolvamos o sistema abaixo:

$\begin{cases} \mathtt{x^y = y^x \qquad \qquad \qquad (i)} \\ \mathtt{x^3 = y^2 \qquad \qquad \qquad (ii)} \end{cases}$

Inicialmente, dividamos a resolução em duas condições:

$\\ \mathtt{\bullet \qquad x \neq y} \\ \mathtt{\bullet \qquad x = y}$

Isto posto,

$\mathtt{\bullet \qquad \texttt{Condi\c c\~ao} \ I: \ x \neq y}$

Da equação (i),

$\\ \displaystyle \mathsf{x^y = y^x} \\\\ \mathsf{\log x^y = \log y^x} \\\\ \boxed{\mathsf{y \cdot \log x = x \cdot \log y}} \qquad \qquad \mathtt{(iii)}$

Da equação (ii),

$\\ \displaystyle \mathsf{x^3 = y^2} \\\\ \mathsf{\log x^3 = \log y^2} \\\\ \mathsf{3 \cdot \log x = 2 \cdot \log y} \\\\ \boxed{\mathsf{\log x = \frac{2}{3} \cdot \log y}} \qquad \qquad \mathtt{(iv)}$

Obs.: de acordo com a definição de logaritmos, temos:

$\mathtt{x, y > 0}$

Por conseguinte, e, levando em consideração a observação acima, substituímos a equação obtida em (iv) na equação (iii). Segue,

$\\ \displaystyle \mathsf{y \cdot \log x = x \cdot \log y} \\\\ \mathsf{y \cdot \left ( \frac{2}{3} \cdot \cancel \log y \right ) = x \cdot \cancel \log y} \\\\ \boxed{\mathsf{x = \frac{2y}{3}}} \qquad \qquad \qquad \mathtt{(v)}$

Ora, substituindo-o numa das equação iniciais do sistema, ou seja, nas equações (i) ou (ii), teremos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{x^3 = y^2} \\\\ \mathsf{\left ( \frac{2y}{3} \right )^3 = y^2} \\\\ \mathsf{\frac{8y^3}{27} = y^2} \\\\ \mathsf{8y^3 = 27y^2} \\\\ \mathsf{8y^3 - 27y^2 = 0} \\\\ \mathsf{y^2(8y - 27) = 0} \\\\ \boxed{\mathsf{S_y = \left \{ 0, \frac{27}{8} \right \}}}$

Entretanto, ZERO não poderá ser considerada uma raiz pelo motivo visto na OBSERVAÇÃO acima!

Com efeito, determinamos a incógnita x, veja:

De (v),

$\\ \displaystyle \mathsf{x = \frac{2y}{3}} \\\\\\ \mathsf{x = \frac{2}{3} \cdot \frac{27}{8}} \\\\\\ \mathsf{x = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 \cdot 9}{2 \cdot 4}} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{S_x = \left \{ \frac{9}{4} \right \}}}}$

Feito isto, tiramos que quando x e y são distintos temos como solução o seguinte par ordenado:

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{S_1 = \left \{ \left ( \frac{9}{4}, \frac{27}{8} \right ) \right \}}}}}}$

Ademais,

$\mathtt{\bullet \qquad \texttt{Condi\c c\~ao} \ II: \ x = y}$

Da equação (i), tiramos apenas que $\mathtt{x, y > 0}$; todavia, da equação (ii), concluímos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{x^3 = y^2} \\\\ \mathsf{x^3 = x^2} \\\\ \mathsf{x^3 - x^2 = 0} \\\\ \mathsf{x^2(x - 1) = 0} \\\\ \boxed{\mathsf{S_x = \left \{ 0, 1 \right \}}}$

Uma vez que, nem x nem y podem ser nulo, concluímos que:

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{S_2 = \left \{ \left ( 1, 1 \right ) \right \}}}}}}$