Question

Um polinômio p(x) dividido por x²-1 dá resto 2x+1; o polinômio g(x) dividido por x²-3x + 2 dá resto x+2. Qual o resto da divisão de s(x) = p(x) + g(x) por x-1

Answer 1

Resposta: 6

Explicação passo-a-passo:

p(x) dividido por x² − 1 deixa resto r₁(x) = 2x + 1:

    $\mathsf{p(x)=q_1(x)(x^2-1)+r_1(x)}$

Fatore x² − 1:

    $\mathsf{p(x)=\big[q_1(x)(x+1)\big](x-1)+r_1(x)\qquad (i)}$

g(x) dividido por x² − 3x + 2 deixa resto r₂(x) = x + 2:

    $\mathsf{g(x)=q_2(x)(x^2-3x+2)+r_2(x)}$

Fatore x² − 3x + 2:

    $\mathsf{g(x)=\big[q_2(x)(x-2)\big](x-1)+r_2(x)\qquad (ii)}$

Somando (i) e (ii) membro a membro, obtemos

    $\mathsf{p(x)+g(x)=\big[q_1(x)(x+1)\big](x-1)+\big[q_2(x)(x-2)\big](x-1)+r_1(x)+r_2(x)}\\\\\\ \mathsf{p(x)+g(x)=\big[q_1(x)(x+1)+q_2(x)(x-2)\big](x-1)+r_1(x)+r_2(x)}$

Observe que a primeira parcela já possui x − 1 como fator. Logo, o resto procurado será o resto da divisão de r₁(x) + r₂(x) por x − 1:

    $\mathsf{s(x)=r_1(x)+r_2(x)}\\\\ \mathsf{s(x)=(2x+1)+(x+2)}\\\\ \mathsf{s(x)=3x+3}\\\\ \mathsf{s(x)=3x-3+3+3}\\\\ \mathsf{s(x)=3x-3+6}\\\\ \mathsf{s(x)=3(x-1)+6}$

Logo, o resto é 6.

Bons estudos! :-)