Question

resolver essa matriz inversa

Answer 1

Sabemos que uma matriz multiplicada pela sua matriz inversa = matriz identidade, é isto que está escrito no exercício. Matriz identidade é a matriz que tem os elementos da sua diagonal principal igual a 1(um) e os demais elementos da matriz igual a 0(zero). Depois desta pequena explanação vamos resolver.
Multiplicação de matriz é Σ"símbolo de somatório" (linha x coluna),ou seja, é o somatório do produto das linhas pelas colunas.

$\left[\begin{array}{cc}2&3\\1&4\end{array}\right] * \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Ao multiplicarmos linha por colunas ficaremos assim

$\left[\begin{array}{cc}2a+3c&2b+3d\\a+4c&b+4d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Agora pegaremos estas igualdades e montaremos 02 sistemas lineares:

{ 2a + 3c = 1                                    { 2b + 3d = 0
{ a + 4c = 0                                      { b + 4d = 1

Usando o método da substituição teremos 1º sistema.
a + 4c = 0
a = -4c
2a + 3c = 1
2(-4c) + 3c = 1
-8c + 3c = 1
-5c = 1
 c = -1/5
a = -4c
a = -4(-1/5)
a = 4/5

2º sistema:

b + 4d = 1
b = 1 - 4d

2b + 3d = 0
2(1 - 4d) + 3d =0
2 - 8d + 3d = 0
-8d + 3d = 0 - 2
-5d = - 2  *(-1)
5d = 2
d = 2/5

b = 1 - 4d
b = 1 - 4(2/5)
b = 1 - 8/5
b = -3/5

Bom agora com os elementos calculados montamos a matriz inversa.

$\left[\begin{array}{cc} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{array}\right]$