Question

Determinar a inversa, se existir
A= { -5 4}
{ 7 -2}

Answer 1

Olá, vamos lá.

Considerando que temos uma matriz quadrática, é possível encontrar sua matriz inversa através desta propriedade:

$A \;\cdot\;A^{-1} = In$

Onde:

$A$ é a matriz quadrática qualquer.

$A^{-1}$ é a inversa da matriz A.

In é a matriz identidade.

Com isso em mente vamos montar:

$\left[\begin{array}{ccc}-5&4\\7&-2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Coloquei as letras (a, b, c, d) como incógnitas, pois não sabemos os valores dos itens da matriz inversa, ou seja, é o que queremos descobrir.

Utilizando multiplicação de matrizes temos:

$\left[\begin{array}{ccc}-5a+4c&-5b+4d\\7a+-2c&7b-2d\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Isso é verdade sê:

$-5a+4c = 1$

$7a-2c=0$

$-5b+4d=0$

$7b-2d=1$

Verifica-se que temos dois sistemas:

$\left \{ {{-5a+4c=1} \atop {7a-2c=0}} \right.$

$\left \{ {{-5b+4d=0} \atop {7b-2d=1}} \right.$

Resolvendo ambos os sistemas temos:

$a = \frac{1}{9}$

$c = \frac{7}{18}$

$b = \frac{2}{9}$

$d= \frac{5}{18}$

Então $A^{-1}$ é:

$\boxed{\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\\\frac{7}{18}&\frac{5}{18}\end{array}\right] }$