Matéria: Matemática
Autor: Guilhermepina20
Perguntado 7 anos atrás

Em quantos zeros termina o produto dos 100 primeiros números inteiros positivos? Reposta é 24... Já existe essa pergunta no site, mas não ficou explicado o porquê, se poder explicar, eu ficaria muito grato!

Anônimo: Bom

Anônimo: Essa pergunta seria o msm que perguntar “com quantos zero termina 100!”

Anônimo: Concorda?

Anônimo: No produto 1•2•3...•100 = 100!

Anônimo: Na decomposição canônica ou em fatores primos desse produto, temos que o fator 2 aparece 97 vezes, ou seja, o produto é múltiplo de 2^(97). O fator 5 aparece 24 vezes na fatoração de 100!

Anônimo: Perceba que eu apenas calculei pro 2 e pro 5, pois o produto deles resulta em 10 (são os fatores primos responsáveis pela geração de zeros)

Anônimo: Com isso temos que o produto dos 100 primeiros números inteiros positivos termina em 24 zeros (pois o fator 5 aparece 24 vezes, ou seja, o produto também é múltiplo de 5^(24)).

Anônimo: Sei que ñ ficou muita clara a explicação

Anônimo: Por isso se manifeste e pergunte sobre o que não entendeu

Respostas

respondido por: EinsteindoYahoo

Resposta:

Produtos dos 100 primeiros números inteiros positivos é o fatorial de 100

>>>> 100!=1*2*3*4*5*.....*99*100

Final 5

5*15*25*..*95

an=a1+(n-1)*r ..PA

95=5+(n-1)*10 ==>n=10 final 5

**25(5²) e 75(5²*3) possui 2 cincos

Ficamos com 10+2=14

Múltiplos de 5, com final 0

10*20*....*100

100=10*(n-1)*10 ==>n=10 final 0

**cada número com final 0 , tem pelo menos um cinco (ex. 20=4*5)

**50(5²*2) e 100(5²*4) possui 2 cincos

Ficamos com 10 + 2 = 12

total = 12+12=24

Obs. fator 2 existe em fartura em 100! , mas precisamos apenas de 24 para ter final 0 , junto com o 5 ( ex. 2*5=10)..

Obs. O importante neste exercício é saber quantos cinco temos no fatorial 100! , pois assim saberemos em quantos zeros termina o produto dos 100 primeiros números inteiros positivos..