Question

Considere os numeros inteiros a,b,x e y, com x>y. Sabendo-se as formas fatoradas de a e b são a= 2^x . 3^y e b= 2^y . 3^x . 5, que o mdc (a,b)= 36 e que o mmc(a,b)= 1080, o valor de (b-a) é igual a:
a) 408
b) 390
c) 468
d) 428
e) 488

Answer 1

a=2^x.3^y
b=2^y.3^x.5

MDC (a,b)=36
MMC (a,b)=1080

36=6²
1080=5.6³

(2^x.3^y)(2^y.3^x.5)|1080
2^(x+y).3^(x+y).5|1080
5.6^(x+y)|1080
5.6^(x+y)|5.6³
x+y=3

36|2^x.3^y ou 36|2^y.3^x.5


MMC(a,b) × MDC(a,b)= a.b
1080.36=2^x.3^y.2^y.3^x.5

36=2².3²
1080=5.2³.6³

5.2³.3³.2².3²=5.2^y.3^x.2^x.3^y
2^5.3^5=2^(x+y).3^(x+y)
x+y=5
como x>y
x=3
y=2
pois com esses valores, os critérios anteriormente dados são obedecidos

b=2².3³.5
b=540
a=2^x.3^y
a=72

540-72=468

$\boxed{ \boxed{ \boxed{ \mathsf{b - a = 468 \: \: \: \: alternativa \: (c).}}}}$