Question

Resolva as Equaçoes com fatorial :

a) 2(x-4)! = (x-2)!

b) n!-15(n-1)! = 0

c) n!
--------- = 30
(n-2)!

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Eduardo, que a resolução parece mais ou menos simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para resolver as seguintes equações com fatorial.

a) 2*(x-4)! = (x-2)! ---- vamos desenvolver, no 2º membro, (x-2)! até (x-4)!. Fazendo isso, teremos:

2*(x-4)! = (x-2)*(x-3)*(x-4)! ----- simplificando-se ambos os membros por (x-4)! iremos ficar apenas com:

2 = (x-2)*(x-3) ---- efetuando o produto indicado no 2º membro, temos:

2 = x² - 5x + 6 ---- passando "2" para o 2º membro, temos:

0 = x² - 5x + 6 - 2 ----- desenvolvendo, temos:

0 = x² - 5x + 4 ---- ou, o que dá no mesmo:

x² - 5x + 4 = 0 ---- agora note: se você aplicar Bháskara encontrará as seguintes raízes:

x' = 1; e x'' = 4

Mas note que a raiz x' = 1 deverá ser rejeitada, pois se você considerar que "x" pudesse ser igual a "1" iríamos ficar com fatorial de números negativos. E só existe fatorial de números maiores ou iguais a "0". Logo, ficaremos apenas com a segunda raiz, que é:

x = 4 <--- Esta é a resposta para o item "a".

b) n! - 15*(n-1)! = 0 ---- vamos passar "-15(n-1)!" para o 2º membro, ficando:

n! = 15*(n-1)! ---- agora, no 1º membro, desenvolvemos n! até (n-1)!. Assim:

n*(n-1)! = 15*(n-1)! ----- simplificando-se os dois membros por (n-1)! iremos ficar apenas com:

n = 15 <--- Esta é a resposta para o item "b".

c) n!/(n-2)! = 30 ---- no numerador, vamos desenvolver n! até (n-2)! Assim, ficaremos com:

n*(n-1)*(n-2)!/(n-2)! = 30 ---- simplificando-se (n-2)! do numerador com (n-2)! do denominador, iremos ficar apenas com:

n*(n-1) = 30 ----- desenvolvendo o produto do 1º membro, temos;

n² - n = 30 ---- passando "30" para o 1º membro, temos:

n² - n - 30 = 0 ---- se você aplicar Bháskara iremos encontrar as seguintes raízes:

n' = -5; e n'' = 6

Note que a raiz n = -5 deverá ser descartada, pois se fôssemos admitir que "n" pudesse ser igual a "-5" iríamos ficar com fatorial negativo e, como já visto antes, só existe fatorial de números maiores ou iguais a zero. Logo, só ficaremos com a segunda raiz, que é:

n = 6 <--- Este é a resposta para o item "c".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.