Question

Dadas as retas r1 : y = mx e r2 : y = nx onde m diferente de 0 e n diferente de 0.

a) [1.5 ponto] Mostre que r1 e r2 são perpendiculares se e somente se, mn = −1. Pode-se concluir o mesmo se as retas foram dadas pelas equações r˜1 : y = mx + a e r˜2 = nx + b? Por qué?

b) [2.0 ponto] Sejam A = (−3, −1,) B e C = (4, −2) os vértices de um triângulo retângulo, reto em B. Se a reta r1 : y = 2x + 5 contém o lado AB, encontrar as equações reduzidas das retas que contém os outros dois lados

Answer 1

1) Existe uma propriedade das retas que diz que retas perpendiculares tem o produto de seus coeficientes angulares igual a -1. Podemos tomar como exemplo as retas y = x e y = -x, pois sabemos que elas são perpendiculares. Note que em y = x, temos o coeficiente angular igual a 1 e na reta y = -x, temos o coeficiente angular igual a -1.

Portanto, temos que o produto dos coeficientes angulares é 1.(-1) = -1, da mesma forma que mn = -1. O coeficiente linear não interfere na perpendicularidade, já que ele apenas desloca a reta em relação ao eixo y.

2) Se o triângulo é reto em B, temos que as retas que contém AB (r) e BC (s) são perpendiculares. Temos então que a reta que contém BC é:

r: y = 2x + 5

s: y = mx + n

Sabemos que 2.m = -1, então m = -1/2, logo:

s: y = -x/2 + n

Como s contém o ponto C, temos que n vale:

-2 = -4/2 + n

n = 0

s: y = -x/2

Agora, basta encontrar a reta que contém AC resolvendo o seguinte sistema:

-1 = -3m + n

-2 = 4m + n

Multiplicando a primeira por -1 e somando com a segunda, temos:

-1 = 7m

m = -1/7

n = -1 + 3(-1/7)

n = -1 - 3/7

n = -10/7

AC: y = (-x-10)/7