Question

Um poliedro convexo possui, apenas, faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o de faces pentagonais em duas unidades. Calcule o número de faces de cada tipo, sabendo que o poliedro tem 7 vértices.

Answer 1

Tenho T faces triangulares, Q faces quadrangulares e P faces pentagonais.De acordo com o enunciado, T = P+2. O número de arestas pode assim ser calculado: a soma do produto de número de faces (de cada tipo) por número de arestas dessa face, tudo isso dividido por 2. Então o número de arestas do poliedro é tal que: A= 3.T/2 + 4Q/2 + 5P/2 ⇒ A= 3.(P+2)/2 + 4Q/2 + 5P/2 

Como o poliedro é convexo, pela relação de Euller v+f=a+2, isto é, 
7+ T+P+Q =[ 3(P+2) + 4Q + 5P] /2 + 2 ⇒ você vai chegar em 4= 2P +Q , isto implica que existam 1 face pentagonal e duas quadrangulares (é a unica forma de somados derem 4).
Como T= P+2 ⇒ T = 1+2 ⇒ T=3 

3 faces triangulares, 1 pentagonal e duas quadrangulares.